No Image

Чему равна производная константы

СОДЕРЖАНИЕ
4 просмотров
10 марта 2020

Правила дифференцирования функций, содержащих постоянные

Здесь мы рассмотрим следующие правила, связанные с дифференцированием функций, содержащих постоянные:
(1) ;
(2) ,
где C – постоянная, u – дифференцируемая функция от независимой переменной :
.

Вначале мы докажем эти правила. Затем приведем примеры вычисления производных.

Производная постоянной функции

Выясним, чему равна производная постоянной функции. Для этого применим определение производной:
(3) .
Пусть функция является постоянной, которую обозначим как :
.
То есть не зависит от x . Значения переменной y одинаковы при любых значениях переменной x и равны . Тогда
;
;
.
То есть производная постоянной функции равна нулю:
.

Вынесение постоянной за знак производной

Теперь докажем правило (2). То есть если является дифференцируемой функцией от переменной x (на некотором множестве ее значений), то при дифференцировании, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(2) .

Доказательство

Поскольку является дифференцируемой функцией, то существует производная этой функции:
.

Рассмотрим функцию от независимой переменной x следующего вида:
.
По определению производной

.

То есть
.
Что и требовалось доказать.

Примеры

Проиллюстрируем применение рассмотренных правил (1) и (2) на примерах.

Пример 1

Найти производную функции
.

Функция не содержит переменную x . Поэтому она является постоянной. Поскольку производная постоянной функции равна нулю, то производная заданной функции равна нулю:
.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x :
.

Здесь является постоянной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
.

Пример 3

Применим свойство логарифма
.
Тогда
.
Выносим постоянную 6 за скобки и применяем таблицу производных:
.

Пример 4

Продифференцировать функцию от переменной x :
.

Применим свойство экспоненты
.
Тогда
.
Но является постоянной, не зависящей от переменной величиной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
.

Пример 5

Продифференцировать по переменной x функцию, состоящую из корней:
.

Выносим постоянную за скобки и применяем правило дифференцирования степенной функции из таблицы производных:
.
Тогда
.
Приведем корни к одинаковой степени и упростим результат:
.

Читайте также:  Бесплатный vpn в браузере opera

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-10-2016

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

  • Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

    В этом равенстве — функция, от которой мы берем производную,

    — функция, которая получается в результате этой операции.

    Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций :

    1 . Производная константы равна нулю:

    2 . Производная степенной функции:

    Заметим, что может принимать любые действительные значения.

    1.

    2.

    3.

    3 . Производная показательной функции:

    Частный случай этой формулы:

    4 . Производная логарифма:

    Частный случай этой формулы:

    5 . Производные тригонометрических функций:

    6 . Производные обратных тригонометрических функций:

    Правила дифференцирования:

    1. Производная суммы двух функций:

    2. Производная произведения двух функций:

    3. Производная дроби:

    4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

    Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма :

    1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

    2. Отделите в явном виде коэффициенты.

    3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

    4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

    Читайте также:  Accounting demo 1c ru accounting ru ru

    5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

    Пример 1. Найти производную функции:

    0" title="f(x)=log_<2>,

    x>0"/>

    Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

    Так как по условию 0" title="x>0"/>, следовательно,

    Пример 2. Найти производную функции:

    1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

    Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

    Пример 3. Найти производную функции

    Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

    Теперь легко найти производную:

    Пример 4. Найти производную функции:

    Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

    Найдем производную функции по формуле производной дроби:

    КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

    Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

    Вычисляет производную заданной функции.

    Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
    В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
    Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

    Калькулятор производных

    Производная функции

    Синтаксис описания формул

    В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
    Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

    Читайте также:  Тесты по сетям связи ответы
  • Комментировать
    4 просмотров
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Это интересно
    Adblock detector