No Image

Чему равна сумма квадратов корней уравнения

СОДЕРЖАНИЕ
3 просмотров
10 марта 2020

Ответ или решение 1

х^2 (х — 4) — (х — 4) = 0 — вынесем за скобку общий множитель (х — 4); от первого слагаемого останется х^1, от второго слагаемого останется (-1);

(х — 4)(х^2 — 1) = 0 — произведение двух множителей равно нулю тогда когда один из множителей равен нулю; приравняем каждый из множителей (х — 4) и (х^2 — 1) к нулю;

Найдем сумму квадратов корней уравнения (х1)^2 + (х2)^2 + (х3)^2:

Ответ или решение 1

2 * x^2 — 4 * x — 7 = 0;

Вычислим корни квадратного уравнения.

D = b^2 — 4 * a * c = (-4)^2 — 4 * 2 * (-7) = 16 + 4 * 2 * 7 = 16 + 8 * 7 = 16 + 56 = 72;

x1 = (4 + √72)/(2 * 2) = (4 + √72)/4 = 4/4 + √72/4 = 1 + √36 * √2/4 = 1 + 6/4 * √2 = 1 + 3/2 * √2;

Найдем сумму корней квадратов уравнения.

(x1)^2 + (x2)^2 = (1 + 3/2 * √2)^2 + (1 — 3/2 * √2)^2 = 1^2 — 2 * 1 * 3/2 * √2 + (3/2 * √2)^2 + 1^2 — 2 * 1 * 3/2 * √2 + (3/2 * √2)^2 = 1 + (3/2 * √2)^2 + 1 + (3/2 * √2)^2 = 1 + 9/4 * 2 + 1 + 9/4 * 2 = 2 + 9/2 + 9/2 = 2 + 18/2 = 2 + 9 = 11.

Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x1 2 +x2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x1 2 +2x1x2+ x2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x1 2 +x2 2 =p 2 -2x1x2=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x1 3 +x2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Читайте также:  192 168 1 100 Admin вход

Еще одно полезное равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x1 2 +x2 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q. У нас -p=x1+x2=3 → p 2 =3 2 =9; q=x1x2=-4. Тогда x1 2 +x2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x1 3 +x2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x1 3 +x2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x1 2 +x2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x1 2 +x2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector