No Image

Численное интегрирование метод симпсона

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
10 марта 2020

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f ( x ) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f ( x ) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b — a n и точками a = x 0 x 2 x 4 . . . x 2 π — 2 x 2 π = b . Тогда точки x 2 i — 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Суть метода парабол

Каждый интервал x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f ( x ) , синей – приближение графика y = f ( x ) при помощи квадратичных парабол.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Пусть x 2 i — 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i ( x 2 i — 2 ) 2 + b i · x 2 i — 2 + c i = f ( x 2 i — 2 ) a i ( x 2 i — 1 ) 2 + b i · x 2 i — 1 + c i = f ( x 2 i — 1 ) a i ( x 2 i ) 2 + b i · x 2 i + c i = f ( x 2 i )

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

( x 2 i — 2 ) 2 x 2 i — 2 1 x 2 i — 1 ) 2 x 2 i — 1 1 ( x 2 i ) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i — 2 , x 2 i — 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x .

f ( x 2 i — 2 ) = f ( 0 ) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f ( x 2 i — 1 ) = f ( h ) = a i · h 2 + b i · h + c i f ( x 2 i ) = f ( 0 ) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Читайте также:  Как обойти блокировку планшета

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = ∫ 0 2 h ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i — 2 + 4 f 2 2 i — 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 ( f ( x 2 i — 2 ) + 4 f ( x 2 i — 1 ) + f ( x 2 i ) ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) + . . . + + f ( x 2 n — 2 ) + 4 f ( x 2 n — 1 ) + f ( x 2 n ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

  • при приближенном вычислении определенного интеграла;
  • при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f ( x ) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b — a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f ( x i ) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b — a 2 n = 5 — 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i 1 2 3 4 5
x i 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
f x i 0 . 12308 0 . 2 0 . 16552 0 . 1 0 . 05806
i 6 7 8 9 10
x i 3 3 . 5 4 4 . 5 5
f x i 0 . 03529 0 . 02272 0 . 01538 0 . 01087 0 . 00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d ( x 2 ) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f ‘ ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 ‘ = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f » ( x ) = 3 2 cos 3 x 2 ‘ = — 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f ‘ ‘ ‘ ( x ) = — 9 4 sin 3 x 2 ‘ = — 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f ( 4 ) ( x ) = — 27 8 cos 3 x 2 ‘ = 81 16 sin 3 x 2

Читайте также:  Мегафон проблемы с смс

Область определения f ( 4 ) ( x ) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу — 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π ) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f ( 4 ) ( x ) = 81 16 .

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π — 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b — a 2 n = π — 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f ( x 1 ) = f ( π 10 ) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f ( x 10 ) = f ( π ) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ — 0 . 5

Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

i 1 2 3 4
x i π 10 π 5 3 π 10 2 π 5
f ( x i ) 0 . 5 0 . 953990 1 . 309017 1 . 487688 1 . 451056
i 5 6 7 8 9 10
x i π 2 3 π 5 7 π 10 4 π 5 9 π 10 π
f ( x i ) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 — 0 . 087785 — 0 . 391007 — 0 . 5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 — 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 — 0 . 87785 — 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = — 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = — 3 2 cos 3 π 2 + π 2 — — 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Принцип метода Симпсона состоит в замене под­ын­те­граль­ной функ­ции f(х) интерполяционным мно­гочленом Нью­­то­на вто­рой сте­пени. Тогда для каждого эле­мен­тар­­но­го от­резка [хi,хi+1] име­ем следующее значение площади подынтегральной кривой:

.

Для всего отрезка интегрирования [a,b] формулой Симпсона:

Данное выражение называется формулой Сим­сона. Оно от­носится к формулам по­вы­шен­ной точ­нос­ти и яв­ля­ется точ­ной для мно­го­чле­нов второй и третьей сте­пе­ни.

Рисунок 31 – Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Симпсона

Читайте также:  Asus analog tv stick

Приведём программу, реализующую вычисление определённого интеграла методом Симпсона с заданнойточностью. В качестве подынтегральной будем использовать функцию:

.

Рассмотренные формулы численного интегрирования требуют чёткого указания количества разбиений отрезка интегрирования. Однако классическое использование численного метода предполагает вычисление значения (корня, интеграла и т.д.) с заданной точностью.

Точность любой формулы численного интегрирования зависит от величины отрезка разбиения D.

Будем вычислять значение интеграла при разных значениях D (D1, D2, D3,…), где Di+1 = 2Di. Как только разница между значением интеграла, вычисленного при Di и интеграла, вычисленного при Di+1, станет меньше, чем значение e, будем считать, что интеграл вычислен с заданной точностью e.

Данный метод интегрирования с заданной точностью прост в реализации, однако он требует значительных избыточных вычислений, что приводит к повышению затрат времени на вычисление.

program simp;

function f(x: real): real;

Begin

f:=1/x

end;

Var

a,b,e: real;

i: integer;

xa,xab,xb,dx,s1,s: real;

n: integer;

Begin

writeln(‘[a,b],e’);

readln(a,b,e);

n:=1;

dx:=(b-a)/n;

s:=dx*(f(a)+4*f(a+dx/2)+f(b))/6;

Repeat

s1:=s;

s:=0;

dx:=(b-a)/n;

for i:=0 to n-1 do

Begin

xa:=a+dx*(i);

xb:=xa+dx;

xab:=xa+dx/2;

s:=s+dx*(f(xa)+4*f(xab)+f(xb))/6;

end;

until abs(s-s1)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10826 — | 7386 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Кафедра «Высшей математики»

Выполнил: Матвеев Ф.И.

Проверила: Бурлова Л.В.

1.Численные методы интегрирования

2.Вывод формулы Симпсона

4.Выбор шага интегрирования

1. Численные методы интегрирования

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector