No Image

Составить уравнение касательной плоскости к сфере

СОДЕРЖАНИЕ
2 просмотров
10 марта 2020

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M(x,y,z) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 0 , y = 1 , тогда z = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М(x, y, z), принадлежащей ей, если x = –1, y = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М(x, y, z) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z, подставив заданные x = –1 и y = 2 в уравнение поверхности:

Читайте также:  Как выглядят прописные и строчные латинские буквы

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х, y) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x,y,z).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 1, y = 2, тогда z = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Как найти?

Постановка задачи

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F’_x igg |_M (x-x_0) + F’_y igg |_M (y-y_0) + F’_z igg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

  1. Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
  2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Читайте также:  Рассчитайте равновесные концентрации веществ участвующих в реакции

Примеры решений

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде:

$$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 — z $$

Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$

Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 cdot 1 = 2 $$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 cdot (-2) = -4 $$

$$ F’_z Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости:

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Пример 1
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $
Решение
Ответ

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^ — z $$

Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = e^ cdot (xcos y)’_x = cos y e^ $$

$$ F’_y = e^ cdot (xcos y)’_y = -xsin y e^ $$

Вычисляем значения производных в точке $ M(1,pi,frac<1>) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x (1,pi,frac<1>) = cos pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot e^ <(-1)>= -e^ <-1>$$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,pi, frac<1>) = -1 cdot sin pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot 0 cdot e^1 = 0 $$

Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные:

$$ -e^<-1>(x-1) + 0 cdot (y-pi) + (-1) cdot (z-frac<1>) = 0 $$

Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости:

Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности:

Умножим уравнение на дробь $ frac<1> <-e>$:

УСЛОВИЕ:

3. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=27 в точке M0(2;-1;-3).

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Точка M0(2;–1;–3) принадлежит сфере, так как ее координаты удовлетворяют уравнению сферы
(2–1)^2+(-1+2)^2+(-3–2)^2=27,
1+1+25=27 — верно.

R=sqrt(27)=3sqrt(3)
C(1;-2;2)- центр сферы.

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Значит вектор vector <СM>- нормальный вектор касательной плоскости.
vector <СM>=(2-1;-1-(-2);-3-2)=(1;1;-5)
Уравнение плоскости с нормальным вектором vector=(a;b;c) и проходящей через точку М_(о)(x_(o);y_(o);z_(o)) имеет вид
a*(x-x_(o))+b*(y-y_(o))+c*(z-z_(o))=0
1*(x-2)+1*(y+1)-5*(z+3)=0
x+y-5z-16=0
О т в е т. x+y-5z-16=0

Пример 2
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^ $ в точке $ M(1,pi, frac<1>) $
Решение
Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector