No Image

Составить уравнение равновесия составной конструкции

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
10 марта 2020

Рассмотрим равновесие системы сил, которые приложены к системе тел, соединенных между собой с помощью шарниров, гибких звеньев (тросов), или таких, которые свободно опираются друг на друга. Силы, действующие на такую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внутренние – силы взаимодействия между телами конструкции.

Внешние – силы, с которыми взаимодействуют тела данной конструкции с другими телами.

Пример. Конструкция состоит из двух твердых тел АС и СДВ, связанных между собой шарниром С (рис. 5.4 а). На конструкцию действует сила , пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Для этой конструкции шарнир С – внутренняя связь, а связи, которые присоединяют конструкцию к земле – внешние (шарнир подвижный в точке А и жесткое защемление в точке В).

Определить реакции связей в точках А и В и усилие в шарнире С.

а б
в г
Рисунок 5.4

Если объектом изучения взять всю составную конструкцию как абсолютно твердое тело, воспользовавшись аксиомой затвердения (Дополнение А.2) – имеем схему сил, изображенную на рис. 5.4 б. Кроме заданных внешних силовых факторов: силы , момента М, силы , изображаем реакцию подвижного шарнира А- , направленную вверх (табл. 1.1, п. 4), реакцию жесткого защемления неизвестного направления разложим на две составляющие и добавим момент пары силы МВ (табл.1.1, п. 5). Таким образом, имеем четыре неизвестных. На конструкцию действует произвольная плоская система сил. На первый взгляд может показаться, что задача статически неопределенная, потому что уравнений равновесия – три; условие (5.10) не выполнено (4>3).

Но из-за того, что конструкция в шарнире С собрана из двух твердых тел АС и СДВ, за объекты изучения можно взять каждую из частей АС и СДВ. Тогда внутреннюю силу реакции шарнира С мы «переведем» в класс внешних сил. При этом воспользуемся аксиомой действия и противодействия (Дополнение А.2) (III-й закон Ньютона). На рисунках 5.4 в и 5.4 г показаны схемы сил, которые действуют на тела АС и СДВ. Это – произвольные плоские системы сил.

Дальше, для схем сил, изображенных на рисунках 5.4 в и 5.4 г, составляем по три уравнения равновесия. Начать лучше из уравнений для схемы 5.4 в, потому что три неизвестные легко определить из трех уравнений равновесия (5.5):

Потом, учитывая, что алгебраические значения равняются алгебраическим значениям , соответственно, составляем уравнения равновесия для схемы сил, которая действует на тело СДВ. Теперь имеем три новых неизвестных . Удачными для их определения будут уравнения равновесия (5.5)

Таким образом, в случае, когда конструкция составлена из нескольких, например n тел, статическую определенность задачи, вместо формулы (5.10) определяем формуле

где S – общее количество неизвестных;

lі – количество уравнений равновесия для і – го тела;

n – количество тел, из которых состоит конструкция.

Вывод: задачи на равновесие системы тел можно решать двумя методами.

Первый метод. Сначала рассматривается равновесие конструкции составленной из системы тел, считая, что внутренние связи затвердели (аксиома затвердения, Дополнение А.2). Позже рассматривается равновесие n –1 тел, из которых составлена конструкция. Составляется необходимое для определения неизвестных сил количество уравнений равновесия, руководствуясь условием статической определенности задачи (формула (5.11)).

Второй метод. Применяя метод разбиения конструкции на части, рассматривается равновесие каждого тела, из которых составлена конструкция. Для каждого тела составляется соответствующее количество уравнений равновесия. Этот метод применен в вышеприведенном примере.

Каким методом пользоваться? Оба методы – равноправные. Можно порекомендовать пользоваться вторым методом, если нужно определить усилия в соединительных элементах. Если спрашивают реакции только внешних связей – пользуются первым методом.

План решения задач вторым методом.

1. На рисунке изображают все заданные силы, которые действует на составную конструкцию. Согласно аксиоме связей (п. 1.4), «отбрасывают» внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями связей (табл. 1.1).

2. Выяснив, что количество неизвестных больше количества уравнений равновесия, (которые можно составить для изображенной на рисунке системы сил) конструкцию разбивают на части, из которых она составлена. На следующих рисунках изображают схемы сил, действующие на отдельные свободные тела, заменяя внутренние и внешние связи соответствующими реакциями (табл. 1.1).

Читайте также:  Топ картинки на заставку

3. Проверяем, удовлетворяет ли общее количество неизвестных S и количество уравнений равновесия l1 + l2 + … + ln условию, которое отображает формула (5.11). Если да – задача статически определенная. Приступаем к её решению.

4. Составляем уравнения равновесия для каждого тела, начиная (если это возможно) с тела, для которого количество неизвестных не превышает количества уравнений равновесия.

5. Проверку рационально сделать для всей составной конструкции, считая, что гибкие связи и шарниры затвердели, то есть воспользоваться схемой сил, которую изобразили в первом пункте Плана.

Порядок решения задач

Для определения реакций опор составной конструкции, мы мысленно разбираем конструкцию на отдельные элементы, каждый из которых является твердым телом. Вместо связей в опорах и точках соединений составных элементов прикладываем силы реакций. Вид сил реакций зависит от крепления опоры или точки соединения тел. Для каждого тела, входящего в конструкцию, мы составляем уравнения равновесия. В результате получаем систему уравнений. Если задача является статически определимой, то эта система имеет единственное решение. Если задача не является статически определимой, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Выбрать единственное решение, методами статики, нельзя. Это можно сделать методами сопротивления материалов.

При составлении уравнений равновесия стоит заметить, что иногда целесообразно составлять уравнения для всей конструкции в целом, или к группе ее элементов, рассматривая их как единое целое.

Силы, возникающие в точках соприкосновения частей конструкции, связаны между собой законом равенства действия и противодействия:
Сила, с которой первое тело действует на второе, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

Методы определения реакций опор твердых тел рассмотрены на странице
«Определение реакций опор твердого тела».

Далее рассмотрен пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции.

Пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции

Для составной конструкции, изображенной на рисунке, определить реакции опор в шарнирах A и B , а также реакции в скользящей заделке C . Расстояния указаны в метрах.

Дано:
P 1 = 5 kН ; P 2 = 7 kН ; M = 22 kН·м ; q = 2 kН/м ; α = 60° .

Решение задачи

Равновесие стержня CB

Мысленно разъединим конструкцию. Рассмотрим равновесие стержня CB . Проводим систему координат Axyz с началом в точке A . Ось Az перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас.

Соединение в точке C является скользящей заделкой. Заменим это соединение силами реакций. Разложим их на две составляющие: на силу , параллельную оси y ; и на момент (пару сил) MC . Их направления выбираем произвольно. Если мы не угадаем с направлением, то значение соответствующей реакции будет иметь отрицательное значение.

Шарнирную опору в точке B заменим силами реакций и , параллельными осям координат.

Рассмотрим геометрию системы. Из прямоугольного треугольника OBC имеем:
м ;
м ;
;
.
Здесь β – угол между стержнем CB и вертикалью CO . Поскольку , то угол между направлением силы и горизонталью также равен β .

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил на ось x равна нулю.
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П2) .

Составляем уравнение для моментов. Возьмем ось Bz′ , проходящую через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
;
(П3.1) .

Вычисляем моменты сил. Ось Bz′ направлена на нас. По правилу правого винта, положительным направлением моментов сил является направление против часовой стрелки.
Силы реакций пересекают ось Bz′ . Поэтому их моменты равны нулю.
Плечом силы является отрезок OB . Тогда
.
Поскольку , то отрезок DB является плечом силы . Момент этой силы:
.

Равновесие конструкции в целом

Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. Шарнирную опору в точке A заменим силами реакций и , параллельными осям координат.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
kН .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры – в точке L , посередине отрезка KA :
|KL| = |LA| = 2 м .

Читайте также:  Моя страница в мтс

Силы и разложим на составляющие вдоль осей координат:
; ;
; ;
; .

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил, действующих на всю конструкцию, на ось x равна нулю.
;
;
;
(П4) .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П5) .

Сумма моментов сил относительно оси z , проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю:
;
(П6.1)
.

Вычисляем моменты сил. Силы реакций и пересекают ось Az . Поэтому их моменты равны нулю.
Момент от некоторой силы относительно оси Az равен произведению плеча силы на абсолютное значение этой силы, взятое с соответствующим знаком. Если сила направлена в положительном направлении (против часовой стрелки), то знак момента положительный. В противном случае – отрицательный. Чтобы найти плечо, через вектор силы проводим прямую. Длина перпендикуляра, опущенного из точки A на эту прямую равна плечу силы относительно оси Az .

В результате уравнение (П6.1) принимает вид:

;
(П6)
.

Решение уравнений равновесия

Итак, мы получили следующую систему линейных уравнений:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6)
.
В ней шесть уравнений и шесть неизвестных. Решаем систему.

Из уравнения (П1): kН .
Из уравнения (П4) имеем:

kН .
Из уравнения (П6) находим:

kН .
Далее из уравнений (П2), (П3) и (П5) последовательно находим:
kН .
kН .
kН .

Решение системы уравнений оказалось простым во многом благодаря тому, что мы подходящим образом выбрали оси, относительно которых вычисляли моменты. А также за счет того, что мы удачно выбрали части конструкции, для которых составляли уравнения (правую часть и всю конструкцию в целом). Можно составить уравнения равновесия и другими способами. Например, можно составить уравнения равновесия для левой и правой частей конструкции и выбрать другие оси для вычисления моментов. Если бы мы сделали это неудачно, то нам пришлось бы решать систему из шести линейных уравнений с шестью неизвестными другим способом, например, методом Крамера. Количество вычислений было бы больше, но в результате мы все равно получили бы одни и те же значения сил реакций.

Проверка правильности решения

Сделаем проверку правильности решения задачи. Для этого рассмотрим равновесие левой части конструкции.

По закону равенства действия и противодействия, в скользящей заделке C , на раму действуют сила и момент MC . Их направления противоположны силе и моменту, действующих в точке C на правую часть конструкции, а абсолютные значения равны.

Через точку V проведем ось Vz′′ , перпендикулярно плоскости рисунка. Если мы определили значения реакций правильно, то сумма моментов сил относительно этой оси должна равняться нулю:

.

kН ; kН ; kН ; kН ; kН ; kН·м .

Отрицательные значения реакций и указывают на то, что они направлены в сторону, противоположную той, которая изображена на рисунке.

Использованная литература:
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике, под редакцией проф. А.А. Яблонского, Москва «Интеграл-пресс», 2006.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 08-11-2017

В случае системы твердых тел, соединенных между собой, силы, действующие на эту систему, можно подразделить на две группы:

Внутренними силами называются силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему. По закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда попарно равны по модулю и прямо противоположны по направлению, но приложены к двум разным взаимодействующим между собой телам системы.

Внешними силами называются те силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела этой системы.

Рассмотрим, например, систему, изображенную на рис.1.

Балка AB весом Px может вращаться вокруг оси A неподвижного цилиндрического шарнира и концом B опирается свободно на другую балку CD весом P2, которая подперта в точке E и соединена со стеной шарниром D.

В данном случае система состоит из двух тел: балки AB и балки CD.

Внутренними силами для данной системы являются силы взаимодействия между балками, т. е. сила N2 давления балки AB на балку CD и сила N1, с которой балка CD действует на балку AB. По закону равенства действия и противодействия силы N1 и N2 равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. N1 = — N2.

Читайте также:  Ремонт зарядное устройство для шуруповерта

Веса P1 и P2 балок представляют собой силы, с которыми эти балки притягиваются к Земле, и, следовательно, для данной системы являются силами внешними, так как Земля по отношению к этой системе есть внешнее тело.

Реакции RA и RD шарнирных опор A и D, а также реакция RE опоры E являются для данной системы тоже внешними силами, так как шарнирные опоры A и D и опора E не принадлежат к рассматриваемой системе, состоящей только из двух балок.

При решении задач на равновесие системы тел необходимо учесть, что все внешние и внутренние силы, приложенные к каждому телу в отдельности, уравновешиваются. Следовательно, в случае плоской системы сил можно составить по три уравнения равновесия для каждого из этих тел в отдельности.

Таким образом, для системы, состоящей из n тел, можно составить всего 3n уравнений равновесия. Поэтому, если число неизвестных сил в данной задаче не более 3n, то такая задача является статически определимой.

Если же число неизвестных в задаче окажется больше 3n, то такая задача не может быть разрешена только на основании уравнений статики абсолютно твердого тела и потому является статически неопределимой.

Так как внутренние силы попарно равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки равна нулю и сумма их проекций на любую ось также равна нулю.

Поэтому, если составим уравнение равновесия (уравнение моментов относительно какой-либо точки, или уравнение проекций на какую-либо ось) для каждого тела в отдельности и затем все эти уравнения сложим, то в полученном уравнении члены, содержащие внутренние силы, попарно уничтожаются и, следовательно, в это уравнение будут входить только внешние силы.

Таким образом, если система тел находится в равновесии, то внешние силы, приложенные к этой системе, удовлетворяют тем же трем уравнениям равновесия, что и в случае равновесия одного абсолютно твердого тела. Эти уравнения представляют собой условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Из этих уравнений можно найти все внешние реакции, если число этих внешних реакций не больше трех. Если же число внешних реакций окажется больше трех или если в задаче, кроме внешних реакций, требуется найти неизвестные внутренние силы, то необходимо применять метод расчленения системы, т. е. нужно рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности и для каждого из этих тел составлять уравнения равновесия, учитывая при этом все силы, приложенные к рассматриваемому телу.

Если система состоит, например, из двух твердых тел, то, применяя метод расчленения, получим в общем случае всего шесть уравнений равновесия (по три уравнения для каждого тела).

Для составления шести уравнений равновесия можно применять еще и другой прием, а именно: составить сначала три уравнения для всей системы в целом (как для одного абсолютно твердого тела) и затем к этим трем уравнениям присоединить три уравнения равновесия, составленные только для одного из двух тел данной системы.

Этот второй прием нередко предпочтительнее, так как в уравнения равновесия, составленные для всей системы в целом, входят только внешние силы и потому эти уравнения обычно оказываются проще.

Задачи, относящиеся к равновесию системы твердых тел, в зависимости от вида соединения этих тел между собой можно разделить на следующие четыре типа:

  1. Задачи, где тела, входящие в систему, опираются свободно друг на друга.
  2. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой гибкой нитью или невесомым стержнем, концы которого прикреплены к этим телам при помощи шарниров.
  3. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой при помощи шарнира.
  4. Задачи, относящиеся к определению усилий в стержнях плоской фермы.
Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector