No Image

Телесный угол в сферических координатах

1 просмотров
10 марта 2020

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω .

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

Ω = S R 2 . <displaystyle Omega ,=,>.>

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r 2 . Полная сфера образует телесный угол, равный 4 π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

Содержание

Вычисление телесных углов [ править | править код ]

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω , под которым она видна из начала координат, равен

Ω = ∫ S d Ω = ∬ S sin ⁡ ϑ d φ d ϑ = ∫ S ( r / r ) ⋅ n d S r 2 , <displaystyle Omega =int limits _dOmega =iint limits _sin vartheta ,dvarphi ,dvartheta =int limits _ <frac <(mathbf /r)cdot mathbf dS><2>>>,>

Читайте также:  Моноблок lenovo c200 цена

где r , ϑ , φ <displaystyle r,vartheta ,varphi > — сферические координаты элемента поверхности d S , <displaystyle dS,> r <displaystyle mathbf > — его радиус-вектор, n <displaystyle mathbf > — единичный вектор, нормальный к d S . <displaystyle dS.>

Пусть L – некоторая замкнутая плоская линия, не имеющая самопересечений, S – некоторая точка, не принадлежащая плоскости, в которой лежит линия L (рис. 5.1).

Телесным углом W называется объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих часть плоскости, ограниченную линией L. Точка S называется вершиной телесного угла.

Телесный угол измеряется площадью поверхности, вырезаемой телесным углом на сфере радиуса R с центром в вершине телесного угла. Единица измерения телесного угла называется стерадиан (стер).

Один стерадиан – это такой телесный угол, который вырезает на поверхности сферы радиусом R фигуру площадью, равной R 2 (рис. 5.2).

Чтобы измерить телесный угол, надо: 1) мысленно начертить сферу радиуса R с центром в вершине телесного угла; 2) найти площадь поверхности Ds, которую вырежет на сфере телесный угол; 3) вычислить телесный угол по формуле

(стер).

Пример 1. Полный телесный угол, охватывающий все пространство, равен

Wполн = Площадь поверхности сферы = (стер).
R 2

Пример 2. Частным случаем телесного угла является трехгранный угол, образованный в результате пересечения трех координатных плоскостей прямоугольной системы координат Охуz (рис. 5.3). Найдем этот угол.

Пересечем этот телесный угол сферой радиуса R с центром в точке О. Поверхность сферы, вырезанная трехгранным углом, составляет сферы. Тогда

;

(стер).

Пример 3.Конус с углом a при вершине и образующей R образует телесный угол W. Найдем этот угол.

Пересечем конус сферой с центром в точке S и радиусом R. Тогда основание конуса будет прикрыто сферической «крышкой» – такая часть сферы называется сферическим сегментом.

Площадь поверхности сферического сегмента Ds = 2prH, где

Читайте также:  Простой почтовый клиент для windows 7

– радиус основания сегмента (рис. 5.4).

;

(стер).

Проверим правильность формулы:

1) пусть a = 0, тогда W = 0 (верно!);

2) пусть a = p (рис. 5.5), тогда

(стер) (верно!).

Заметим, что в задачах с симметрией удобно искать телесный угол как часть полного телесного угла, равного 4p (стер).

Пример 4. Найдем телесный угол, под которым видна из некоторой точки бесконечная плоскость. Ясно, что если плоскость бесконечна, то

.

Пример 5. Найдем телесный угол, под которым видна из центра куба одна его грань (рис. 5.6). Ясно, что все шесть граней «видны» под полным углом, поэтому

.

Определение. Телесным углом данной поверхности S относительно данной точки О называется область пространства, ограниченная конической поверхностью с вершиной в точке О, причем направляющей конической поверхности служит граница поверхности S.

Говорят, что поверхность S видна из точки О «под ее телесным углом». Возьмем единичную сферу (т. е. сферу с радиусом, равным единице) с центром в точке О. Площадь части этой сферы с данным телесным углом называется мерой этого телесного угла. (Вспомним, что подобно этому

длина части единичной окружности, видимой под данным углом из центра окружности, называется мерой этого угла.)

Возьмем единичную сферу с центром в начале координат; ее уравнением в сферических координатах является Легко видеть (см. п° 55), что элемент площади этой единичной сферы — обозначим его через — равен (это легко усмотреть и из черт. 22); поэтому элемент объема в системе сферических координат можно представить так:

Таким образом (ср. со стр. 96), элемент объема в сферических (полярных) координатах равен умноженному на элемент меры телесного угла, под которым видна из начала координат поверхность, ограничивающая область.

Укажем связь между элементом площади данной поверхности и мерой его телесного угла. Ясно, что если умножить на то мы получим площадь проекции (центральной) элемента поверхности на сферу (с центром в начале координат), проходящую через данную точку поверхности; но эта площадь, очевидно, равна где через обозначен угол между нормалью к поверхности в точке и сферическим радиусом этой точки. Значит,

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector