No Image

Тест координаты середины отрезка

СОДЕРЖАНИЕ
9 просмотров
10 марта 2020

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Читайте также:  Скидки на танки в ноябре 2018 года

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

  1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Читайте также:  1440 Dpi это какое разрешение

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Предлагаемое пособие предназначено для организации текущих проверок по ходу изучения планиметрии в 9 классе. Оно содержит наборы заданий для проверки первичного усвоения материала по всем разделам курса. Пособие выполнено в виде рабочей тетради. Включенные в работы задачи предполагают либо выбор одного или нескольких предложенных ответов, либо получение краткого ответа. Решение задач не требует письменного оформления. Предлагаемое пособие соответствует примерным программам основного общего образования.

СОДЕРЖАНИЕ
МЕТОД КООРДИНАТ
Предисловие 4
Тест 1. Координаты векторов 5
Тест 2. Координаты середины отрезка, расстояние между двумя точками 13
Тест 3. Уравнение окружности, уравнение прямой 21
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Тест 4. Синус, косинус, тангенс угла. Координаты точки 29
Тест 5. Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов 37
Тест 6. Скалярное произведение векторов 45
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Тест 7. Правильный многоугольник 53
Тест 8. Длина окружности и ее части 61
Тест 9. Площадь круга и его части 69
ДВИЖЕНИЯ
Тест 10. Параллельный перенос, поворот 73
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Тест 11. Призма и пирамида 81
Тест 12. Цилиндр, конус, шар 89
Ответы 93

В пособии представлено 12 тестов для экспресс-диагностики. Тесты составлены в соответствии с действующими программами и ориентированы на учебник Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». Каждый тест направлен на первичный контроль текущего усвоения материала на минимальном уровне. Включенные в них задания проверяют понимание новой терминологии, распознавание видов фигур и их свойств. Используются простые задачи на прямое применение определений и теорем, включенных в содержание изучаемого материала.
Тесты составлены в четырех равноценных вариантах. Включенные в работы задачи предполагают либо выбор одного или нескольких верных ответов, либо получение краткого ответа, который может быть представлен числом, буквенной записью отрезка или угла. В части заданий предусматривается работа по готовому рисунку, в некоторых случаях данный рисунок необходимо дополнить, а в ряде случаев рисунок по условию задачи должен выполнить сам учащийся в отведенном для этого месте. Кроме того, для большинства задач оставлено место для проведения вычислений или других записей, если они потребуются для получения ответа. При этом записи могут либо вообще отсутствовать, либо быть минимальными. Задачи на доказательство в этот вид проверки не включены, а обоснования ответов к заданиям на распознавание или вычисления учащиеся могут не приводить.
Поскольку целью проведения экспресс-диагностики является первичный контроль усвоения нового материала, а используемые задания проверяют умения применять материал в простых ситуациях, то выставление отметок по итогам проверки представляется нецелесообразным. Возможно использовать двухбалльную систему оценивания («сдано — не сдано», «зачет — незачет» и т.п.). Главная задача для учителя — получить информацию, какой материал усвоен недостаточно классом и отдельными учениками, чтобы своевременно отреагировать и ликвидировать пробелы в ходе изучения соответствующего раздела курса.

Читайте также:  Где приложение найти айфон

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел " Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "

В презентации по геометрии для 9 класса приведены задачи на отработку формул: нахождение расстояния между двумя точками и нахождение координат середины отрезка.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме :«Расстояние между точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка»»

Задачи по теме :«Расстояние между точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка»

Геометрия – 9 класс

«Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового возможно. Где есть желание, найдется путь!» Д. Пойа

  • Найдите расстояние между точками А и В , если:
  • А ) А ( -1; 2 ); В ( -7; 10) ;
  • Б ) А ( 2; — 3 ) ; В ( 2; 6).

  • Докажите, что точки А( 1; 3 ), В( -2; -3 ) и

С( 3; 7 ) лежат на одной прямой.

Какая из точек лежит между

  • Вершинами треугольника являются точки А( -3; 1 ), В( 2; -5 ) и С( 3; 6 ).
  • Докажите, что треугольник АВС- равнобедренный.

  • Найдите координаты середины отрезка АВ, если :

  • Б) А ( — 9; -5 ) , В( — 1; 4 ).

Найдите координаты точки К,

если Р (-4; 5 ), М (1; 2 ).

  • Точка В₁ ( — 2; 3 ) и А₁ (5; — 1 ) – середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. Вершина В

имеет координаты ( 1; 7 ).

  • В треугольнике АВС, А( 1; — 8 ), В( 3; — 4 ),

С( 2; — 5 ). Найдите среднюю линию МР

треугольника АВС, где точки

М и Р- середины сторон АС и АВ соответственно.

  • Расстояние между точками А ( х; — 7 ) и

В( 4; 2 ) равно 15.

  • На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек

А ( -4; 1 ) и В ( 2; — 5 ).

  • На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудаленную от точек А ( 5; 4 ) и В ( 2; 1 ) .

  • Найдите координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 1 : 3,

считая от точки А,

если А ( 1; — 3 ), В ( -7; 13 ) .

  • Точки А₁ ( -2; 1 ), В₁ ( 4; -3 ) и С₁ ( — 1; 5 )- середины сторон некоторого
Комментировать
9 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector