No Image

Ax4 bx2 c 0

СОДЕРЖАНИЕ
6 просмотров
10 марта 2020

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 56. Биквадратные уравнения

Биквадратными называются уравнения вида

Решение таких уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Действительно, полагая в (1) у = x 2 , получаем:

Найдя из этого уравнения у и учитывая, что у = x 2 , легко получить и х.

Пример. Решить уравнение

откуда у1 = —4, у2 = 9. Поскольку у может принимать только неотрицательные значения (ведь у = x 2 ), первый из этих корней является «посторонним». Следовательно, x 2 = 9, откуда x1 = —3, x2 = 3.

Подобным способом можно решать и более широкий круг уравнений, а именно уравнения вида

где п — любое натуральное число. Полагая здесь

мы приходим к квадратному уравнению

Пример. Решить уравнение

Полагая у = х 3 , получаем:

Вспоминая, что у = х 3 , получаем следующие два корня данного уравнения: x1 = —1, x2 = 2.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением — называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .

Новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

  1. Ввести новую переменную
  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
  4. После нахождения корней ( ) подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример решения

Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Читайте также:  Cannot determine a valid java home ошибка

Формула биквадратного уравнения:
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
(x^<2>=t,;tgeq0)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

(t^<2>-5t+6=0)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4 imes1 imes6=25-24=1)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: (x^<2>=3)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4 imes1 imes4=16-16=0)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
(t=frac<-b><2a>=frac<-(-4)><2 imes1>=2)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить (x^<2>=4) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
(egin
&x^<2>=4\
&x_<2>=2\
&x_<3>=-2\
end
)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
(x^<4>-16=0)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
(egin
&x^<2>=4\
&x_<1>=2\
&x_<2>=-2
end
)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Комментировать
6 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector