No Image

Чему равна полная энергия гармонических колебаний

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
10 марта 2020

Тема: ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ .Сложение колебаний.

3. КОЛЕБАНИЯ 3.1.5. Энергия гармонических колебаний 3.1.6. Векторная диаграмма 3.1.7. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты Задания и вопросы для самоконтроля

Энергия гармонических колебаний

Колеблющееся тело обладает кинетической и потенциальной энергией.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки с массой m вычисляется по формуле (1.29) с учетом (3.11):

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей колебания под действием упругой силы вычисляется по формуле (1.32) с учетом (3.9) и (3.7)

Полная энергия гармонических колебаний равна

Учитывая, что получим

Из формулы (3.15) следует, что полная энергия при гармонических колебаниях не зависит от времени, т. е. остается постоянной. Следовательно, выполняется закон сохранения механической энергии.

Второй важный вывод: энергия при гармонических колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Векторная диаграмма

При рассмотрении многих вопросов, в частности, при сложении колебаний одинакового направления и частоты бывает удобно гармоническое колебание представить в виде векторной диаграммы. Векторная диаграмма строится следующим образом: надо изобразить вектор, длина которого равна амплитуде, угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, равной круговой частоте колебаний, то проекция его конца на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону.

На рис. 3.3 представлена векторная диаграмма для гармонического колебания

в момент времени t = 0.

Метод векторных диаграмм удобен при сложении колебаний одинаковой частоты.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 — | 7231 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

При гармонических колебаниях любых физических систем непрерывно и периодически происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Например, при колебаниях физического или математического маятников в крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а при прохождении положения равновесия максимальна кинетическая энергия.

Найдем математические выражения для кинетической, потенциальной и полной механической энергий физических систем, совершающих гармонические колебания.

6.14.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания, , где скорость v изменяется по гармоническому закону,

v = — w A sin( w t + j o ).

После подстановки формула кинетической энергии принимает вид

Читайте также:  Как ввести обещанный платеж билайн

Выражение (6.46) удобнее представить в следующем виде:

Вывод : Кинетическая энергия физической системы также совершает гармонические колебания с круговой частотой 2 w , а величина ее периодически изменяется от 0 до m w 2 A 2 /2.

6.14.2. Потенциальная энергия

В связи с тем, что любая физическая система, совершающая гармонические колебания, имеет общий вид дифференциального уравнения, то на такую систему действует квазиупругая сила (похожая по действию на упругую силу (см. пружинный маятник, закон Гука), но по природе не являющаяся упругой). Поэтому потенциальную энергию колеблющейся системы найдем по формуле потенциальной энергии упруго деформированной пружины:

.

Согласно формулам ( 6.37 ) и ( 6.38 ), после подстановки для потенциальной энергии, получим выражение

.

Вывод : Потенциальная энергия физической системы периодически изменяется от 0 до m w 2 A 2 /2 и совершает гармонические колебания с круговой частотой 2 w .

На модели, представленной ниже, хорошо виден противофазный характер изменения кинетической Wk и потенциальной Wp энергий маятника. Для большей наглядности дополнительно отметьте мышкой строчку "график v(t) ". Тогда на графике модели будут одновременно вычерчиваться две сдвинутые на π/2 синусоиды: график φ( t ) — пропорциональный (Wp) ½ и график v(t) — пропорциональный ( Wk ) ½ .

Модель "Математический маятник"

Замечание : Осциллирующие системы довольно широко распространены в природе. Для них выполняется следующее свойство, а именно: суммарная потенциальная энергия многих систем имеет провалы — “потенциальные ямы”.

В качестве примера на рис. 6.16 приведен график потенциальной энергии взаимодействия нейтральных атомов и молекул, потому что при этом наблюдаются периодические движения, к числу которых и относятся колебания.

6.14.3. Полная энергия гармонических колебаний

По определению полная механическая энергия равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий Wпол= Wк + W р или с учетом (6.46) и (6.47)

где sin 2 ( w t+ j o ) + cos 2 ( w t+ j o )=1.

Полная механическая энергия физической системы, совершающей механические колебания

Такой результат следовало ожидать, т.к. кинетическая и потенциальная энергии сдвинуты по фазе на p .

Вывод : Полная механическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания прямо пропорциональна произведению массы системы на квадрат ее круговой частоты и квадрат амплитуды и не зависит от времени.

Замечание : Поскольку квазиупругие силы являются консервативными, то полная механическая энергия гармонических колебаний в замкнутой системе должна оставаться постоянной. (закон сохранения механической энергии). Что мы и получили в действительности (см. формулу (6.50)).

Анализ формул (6.46), (6.47) и (6.50) показывает, что средние значения кинетической и потенциальной энергий физической системы (осциллятора) равны и каждое составляет половину их полной энергии:

.
Читайте также:  Где сделать презентацию на виндовс 10

Графики изменения кинетической Wk, потенциальной Wр и полной Wп энергий с течением времени приведены на рис. 6.17, а, б, в.

Колебания — это самая общая форма движения динамических систем около положения равновесия. При малых отклонениях от положения равновесия колебания обычно являются гармоническими. В этом заключается их особенная значимость.

где $omega^2$ — циклическая частота колебаний; $x$ -расстояние положения равновесия

называют уравнением механических гармонических колебания. Колебания происходят вдоль оси $X$.

Решением уравнения (1) можно считать функции:

$x=Asin (omega t+varphi)$ или

$x=Acos (omega t+varphi_1)$,

где $A$ — амплитуда колебаний.

Систему, которая реализует данные малые колебания, называют линейным или гармоническим осциллятором. Примером гармонического осциллятора может служить

  1. малое тело, подвешенное на упругую пружину (Пружинный маятник);
  2. физический маятник (Тело, которое совершает колебания относительно точки (или оси, проходящей через точку тела), не являющейся его центром масс);
  3. математический маятник; (Малое тело, совершающее колебания на длинном, нерастяжимом, невесомом подвесе).

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Собственными называют колебания системы под воздействием только внутренних сил при отсутствии внешних воздействий.

В полной механической энергии гармонического осциллятора выделяют:

  • потенциальную энергию;
  • и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Говорить о потенциальной энергии можно только, если действующие силы потенциальны. Если колебательные движения между двумя точками являются одномерным, то автоматически обеспечивается условие потенциальности и всякую силу, зависящую только от координат, можно считать потенциальной.

Если рассматривается линейный осциллятор, то обычно считают, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия. Считая, что осциллятор заставляет совершать колебания сила упругости;

и зная, как связана потенциальная энергия и потенциальная сила, (для одномерного случая: $F=-frac$), потенциальную энергию линейного осциллятора определим как:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Из формулы (3) видно, что потенциальная энергия при колебаниях изменяется с течением времени, так как изменяется $x$. Частота колебаний потенциальной энергии $2omega$.

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия тела – это энергия движения, она зависит от скорости перемещения материальной точки, задается выражением:

Кинетическая энергия является переменной во времени физической величиной. Колебания ее происходят с частотой $2omega$ (эта частота в два раза больше, чем частота колебаний $x$)

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

Как было отмечено, кинетическая энергия и потенциальная энергия являются переменными во времени величинами, однако, их сумма у гармонического осциллятора, выполняющего свободные колебания, не изменяется:

Полная энергия системы ($E$) не изменяется, поскольку при гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии, так как сила упругости является консервативной.

Закон сохранения энергии позволяет сделать два существенных вывода

Вывод первый. Наибольшая кинетическая энергия осциллятора равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия осциллятора максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

где $V$ — максимальная скорость.

Вывод второй. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Средняя кинетическая энергия.

Пусть параметр $f$ функция времени, тогда средняя ее величина на отрезке времени от $t_1$ до $t_2$ равна:

где пределы интегрирования обозначают 1 — время $t_1$; 2 — $t_2$.

Если функцию $f(t)$ изобразить на графике (рис.1), то ее среднее значение будет соответствовать высоте прямоугольника, площадь которого ограничивают функция $f$ и ось $t$ на заданном отрезке времени.

Площадь под осью $t$ считают отрицательной.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем закон движения осциллятора как:

$x(t)=Acos (omega t+varphi) (7)$,

его скорость равна:

$dot=-Aomegasin (omega t+varphi) (8).$

Выражение для потенциальной энергии представим как:

Кинетическую энергию представит выражение:

Отрезком времени, на котором будем брать среднее, станет период колебаний, вернее одного колебания. Нахождение средних значений кинетической и потенциальной энергии сводят к поиску средних от $cos^2 (omega t+varphi)$ и $sin^2 (omega t+varphi)$:

$(sin^2 (omega t+varphi))_=frac<1>int_0^T cos^2 (omega t+varphi)dt=frac<1>int_0^Tfrac<1><2>(1-cos 2(omega t+varphi)dt)=frac<1><2>,$

где $T$ — период колебаний; $omega T=2pi.$

По аналогии получаем:

$sin^2 (omega t+varphi)_sr=frac<1><2>.$

В результате имеем:

средняя по времени потенциальная энергия гармонического колебания за один период равна:

средняя по времени кинетическая энергия составила:

Сравнивая (10) и (11) мы видим, что:

где $E$ — полная механическая энергия гармонических колебаний.

то есть средняя по времени кинетическая энергия осциллятора равна средней по времени потенциальной энергии.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

.
Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector