No Image

Численные методы решения уравнения теплопроводности

СОДЕРЖАНИЕ
3 просмотров
10 марта 2020

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Карпович Дмитрий Семенович, Суша Оксана Николаевна, Коровкина Наталья Павловна, Кобринец Виктор Павлович

В данной статье приводится сравнение методов решения уравнения теплопроводности. Подробно рассмотрено решение аналитическим методом. Заданы условия однозначности, а также начальные и граничные условия и приведены способы их задания с учетом физических особенностей моделирования теплопроводности режущего инструмента. Составлено и решено уравнение методом разделения переменных , в виде произведения двух функций, и разложено в ряд Фурье с заданными параметрами, определяемыми характеристическим уравнением. Получено окончательное выражение распределения температуры в инструменте. Также приведен пример решения численным методом тепловых балансов, выведено уравнение в конечно-разностной форме для расчета распределения температурного поля и получено приближенное решение для температур в узловых точках. Проанализированы характерные особенности каждого метода решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности. Представлены графики распределения температуры в инструменте для интервала времени с разным количеством элементов ряда. Сделан вывод о точности и вычислительной сложности при решении каждой рассмотренной задачи. В заключение раскрываются достоинства и недостатки аналитического и численного методов и приводится обоснование использования модифицированного численного метода в одномерной нестационарной задаче теплопроводности.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Карпович Дмитрий Семенович, Суша Оксана Николаевна, Коровкина Наталья Павловна, Кобринец Виктор Павлович

Текст научной работы на тему «Аналитический и численный методы решения уравнения теплопроводности»

ИНФОРМАТИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Д. С. Карпович, О. Н. Суша, Н. П. Коровкина, В. П. Кобринец

Белорусский государственный технологический университет

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В данной статье приводится сравнение методов решения уравнения теплопроводности. Подробно рассмотрено решение аналитическим методом. Заданы условия однозначности, а также начальные и граничные условия и приведены способы их задания с учетом физических особенностей моделирования теплопроводности режущего инструмента. Составлено и решено уравнение методом разделения переменных, в виде произведения двух функций, и разложено в ряд Фурье с заданными параметрами, определяемыми характеристическим уравнением. Получено окончательное выражение распределения температуры в инструменте. Также приведен пример решения численным методом тепловых балансов, выведено уравнение в конечно-разностной форме для расчета распределения температурного поля и получено приближенное решение для температур в узловых точках. Проанализированы характерные особенности каждого метода решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности. Представлены графики распределения температуры в инструменте для интервала времени с разным количеством элементов ряда. Сделан вывод о точности и вычислительной сложности при решении каждой рассмотренной задачи.

В заключение раскрываются достоинства и недостатки аналитического и численного методов и приводится обоснование использования модифицированного численного метода в одномерной нестационарной задаче теплопроводности.

Ключевые слова: метод разделения переменных, дифференциальное уравнение, метод конечных разностей, закон Фурье, температурное поле, граничные условия.

D. S. Karpovich, O. N. Susha, N. P. Korovkina, V. P. Kobrinets

Belarusian State Technological University

THE ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS

OF SOLVING THE THERMAL CONDUCTIVITY EQUATION

In this article we present a comparison of the methods of solving the thermal conductivity equation. An analytical method of solving is considered in details. The conditions of unambiguity are specified, as well as the initial and boundary conditions and ways of their definition in consideration with physical features of modelling the thermal conductivity of the cutting tool. The equation is constituted and solved by the method of division of variables, as the product of two functions, and it is separated in Fourier series with the specified parameters defined by the characteristic equation. The final expression of temperature division in the tool is obtained as well. The example of solving by a numerical method of thermal balances is given too, the equation is deduced into finite-difference form to calculate

the distribution of the temperature field and the approximate solution for temperatures in central points is obtained as well. There are analyzed characteristic features of each method of solving of one-dimensional non-stationary problem of thermal conductivity. Diagrams of the temperature distibution in the tool are presented for a time interval with a different quantity of elements of series row. We made a conclusion on accuracy and computing complexity while solving each considered problem.

In conclusion we revealed the advantages and disadvantages of analytical and numerical methods and we give proof of using the modified numerical method in solving one-dimensional non-stationary problem of thermal conductivity.

Key words: the method of division of variables, the differential equation, the method of ultimate differences, Fourier’ law, a temperature field, boundary conditions.

Читайте также:  Как восстановить новый айфон из резервной копии

Введение. Существует несколько методов решения задач теплопроводности: аналитический, аналоговый, численный, графический и экспериментальный. Четыре из них исходят непосредственно из различных форм уравнений. Экспериментальным методом пользуются, когда остальные методы не дают результатов. Его применяют для определения теплофизических свойств, таких как теплопроводность и удельная теплоемкость.

Для решения задач теплопроводности в твердых телах сложной формы используются аналитические и численные методы. Решения возможны при известных краевых условиях, включающих начальное распределение температур в теле и граничные условия на поверхности тела, которые могут быть заданы одним из трех способов: температурой поверхности, тепловым потоком и коэффициентом теплоотдачи [1].

Аналитическое решение задач нестационарной теплопроводности методом разделения переменных Фурье предпочтительнее других методов при неравномерном начальном распределении температуры в теле и в тех случаях, когда нет необходимости в расчетах для очень малых времен от начала процесса.

Из численных методов решения задач теплопроводности в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей.

Основная часть. Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид

Данное уравнение известно как закон (или постулат) Фурье.

Условия однозначности задаются в виде: физических параметров X, с, р; формы и геометрических размеров объекта 10, А, /2, . 4; температуры тела в начальный момент времени т = 0:

Граничные условия могут быть заданы в следующем виде:

t (Х = Хнач ) = ^ t (Х = Хкон ) = t2 *

Решить задачу теплопроводности — значит установить зависимость между температурой t, временем т и координатами тела x, y, z.

Рассмотрим режущий инструмент толщиной 25. Если толщина инструмента мала по сравнению с длиной и шириной, то такую полоску обычно считают неограниченной.

При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи а одинаков для всех точек поверхности инструмента. Изменение температуры происходит только в одном направлении x, в двух других направлениях температура не изменяется, следовательно, в пространстве задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x, 0) = fx). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой tw = const. Отсчет температуры инструмента для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды. Поскольку задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение (1) принимает вид

Начальные условия: при т = 0

3 = -Эо = / (х) -*ж = Р (х). (3)

Решение дифференциального уравнения (2) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только т, а другая — только х (метод разделения переменных):

После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение (2) имеем:

Левая часть уравнения (5) есть функция только т, а правая — функция только х.

Решая уравнение (5), находим частное решение:

Подчинив частное решение граничному условию, после простейших преобразований получим значения корней характеристического уравнения:

31 = Л1 С08| ц — I е

32 = Л.2С08|Ц28|е 2 82 ;

3п = Л Н Цп 8| е ^82

Полученные частные решения будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых значениях постоянных, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени [3]. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Ап можно воспроизвести любую действительную температурную зависимость в начальный момент времени.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

ч 2 ат X Ч ЦП "Г

Известно, что если отдельные распределения (7) удовлетворяют дифференциальному уравнению (2) и граничным условиям, то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям. Постоянная Ап в уравнении найдется из начальных условий.

Окончательное выражение для случая равномерного распределения температуры в инструменте в начальный момент времени:

| Цп7 |е 81И Цп С08 Цп I 8

Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Получим расчетную формулу для численного интегрирования одномерной нестацио-

нарной задачи методом тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности описывается уравнением

Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в режущем инструменте (уравнение (10)).

Разбиваем на элементарные объемы. Полагаем, что удельная теплоемкость с и коэффициент теплопроводности X в пределах элементарного участка постоянны. Очевидно, количество теплоты, подводимое стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье. Если расстояние 5 достаточно мало, то можно выразить q через конечные:

Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке за время Дт:

и = ерУА!’ = ерУ(!’ — t),

где с — удельная теплоемкость; р — плотность вещества; У — элементарный объем; ! — температура в данной узловой точке в момент времени т; !’ — температура в момент времени т + Дт.

С учетом сказанного уравнение теплового баланса для узловой точки будет иметь вид

Читайте также:  Как закрыть крышку часов тиссот

Решая последнее уравнение относительно неизвестной температуры получаем:

Если учесть, что X / ср = а — коэффициент температуропроводности вещества, У = 52 и Дта / 82 = F0 — число Фурье, то уравнение (13) принимает вид

Уравнение (14) является основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности.

Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения к конечно-разностной форме. Преобразование проведем на примере одномерной нестацио-

нарной задачи теплопроводности безграничной стенки (уравнение (10)).

Поскольку температура ¿(х, т) является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную сетку. Весь интервал изменения х от 0 до 1 по оси абсцисс разобьем на одинаковые интервалы 5х, а отрезок времени от т = 0 до т = & разделим на равномерные интервалы 5т (рис. 1).

х = 5х х = 25х х = т5х х = I х

Рис. 1. Сетка для составления уравнений

Восстановленные перпендикуляры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки. Тогда температура для узловой точки 1 с координатами х = тЪх и т = к5т запишется так:

Для точки 2 с координатами х = тЪх и т + 5т = (к + 1)5т имеем:

¿2 = ¿2(т5 х (к + 1)5Т) = 1п

для точки 3 с координатами х + 5х = (т + 1)5х и т + 5т = (к + 1)5т получим:

¿3 = ¿з[( т +1) 5 х,(к +1) 5Т) = г,

Заменим в точке 1 (т5х, £5т) частные производные в уравнении теплопроводности разностными отношениями:

= ТТ(^+1,к — 2(т,к + ¿т-1,к ) + 8 2, (16)

В этих выражениях е1 и е2 — остаточные члены, учитывающие переход от производных функций к разностным отношениям. Можно показать, что эти члены стремятся к нулю при стремлении к нулю интегралов разбиения 5х и 5т. Дифференциальное уравнение в конечно-разностной форме запишется следующим образом:

Решая уравнение (17) относительно будущей температуры ¿тк+1 в рассматриваемой точке, получим:

Как указывалось ранее, точное решение дифференциального уравнения теплопроводности (1.22) удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому на практике применяются различные приближенные модели решений. Численные методы описания тепловых процессов находят все более широкое применение в связи с развитием вычислительной техники.

Наибольшее распространение в решениях получили модели, основанные на методе сеток. Сущность метода заключается в том, что исследуемая непрерывная функция заменяется совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках-узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью исследуемой непрерывной функции.

Применение метода сеток позволяет свести решение задачи к решению системы алгебраических уравнений, что легко осуществляется на ЭВМ. При решении теплофизических задач наибольшее применение получили следующие виды метода сеток – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).

Метод конечных разностей (МКР). Предусматривает разбиение области определения функции на отдельные равные элементы. Рассмотрим, например, распределение температуры вдоль стержня малого сечения (рис.3.4.)

Рис. 3.4 – Использование метода конечных разностей для расчета температурного поля в стержне

Температурное поле в таком стержне будет одномерным (см.процесс иглофрезерования).

Разделим стержень на n равных элементов размером hх.

Время процесса также разделим на равные промежутки Δτ с нумерацией 1, 2, 3. (k + 1), k, (k – 1). m, т.е. m промежутков.

Можно доказать, что

. (3.9)

Формула (3.9) выражает дифференциальное уравнение теплопроводности, представленное в конечно-разностной форме. Как видно, это уравнение алгебраическое. Чтобы определить температуру в любой точке тела в данный момент времени (i, k + 1) достаточно знать температуру соседних точек (i+1, i – 1) в предыдущий момент времени (k). Используя граничные начальные условия (они заданы), получаем систему связанных друг с другом уравнений. Таких уравнений будет nm с таким же числом неизвестных. Решая эту систему можно рассчитать температуру в каждой точке твердого тела в любой момент времени. Результат получается тем точнее, чем меньше будут размер элементов hx и промежуток времени Δτ.

Метод конечных элементов (МКЭ). В сложных случаях теплообмена разбиение твердого тела на одинаковые по размеру элементы, а времени – на одинаковые промежутки вызывает большой объем вычислительной работы. В любой конкретной задаче разные участки твердых тел представляют для практики различный интерес. Некоторые объемы твердых тел изучаются с большей степенью детализации (например, температура контактных поверхностей режущих инструментов), чем другие. Метод конечных элементов позволяет осуществлять различную детализацию решения в различных областях изучаемого объекта, причем могут быть использованы элементарные объемы различные не только по величине, но и по конфигурации. Однако решение задачи в этом случае выполняется с использованием вариационного исчисления. При использовании МКЭ число уравнений и число неизвестных может быть значительно меньше, чем при методе конечных разностей, однако математический аппарат существенно сложнее.

Метод граничных элементов (МГЭ)

Существенное отличие МГЭ от МКР и МКЭ состоит в том, что на конечные элементы разбивают только граничные поверхности тела, а не весь его объем. Реализация этого метода приводит к значительным математическим трудностям, поэтому этот метод при анализе тепловых процессов пока применяют значительно редко.

Читайте также:  Аккумулятор хилти не заряжается

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10236 — | 7597 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Область решения на плоскости двух переменных для уравнения теплопроводности преобразуется в дискретную сетку из узлов Здесь — целые числа. Узлы сетки ; , где — шаги сетки по координатам и соответственно, — целые числа.

Неизвестная функция , участвующая в краевой задаче, заменяется сеточной функцией на узлах сетки. Частные производные по координатам заменяются соответствующими конечными разностями. Пусть — шаг сетки вдоль рассматриваемой координаты, — значение функции в рассматриваемой точке , а и последующее и предыдущее значения функции по данной координате. Тогда первая производная по этой координате может быть заменена следующей конечной разностью

а вторая производная выглядит следующим образом:

Для первой производной по времени конечная разность имеет вид

А для второй производной по координате конечная разность выглядит следующим образом:

Чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую решаемую задачу, нужно выполнить следующие два шага.

  • 1. Необходимо заменить область непрерывного значения аргумента областью его дискретного изменения.
  • 2. Необходимо заменить производные соответствующими конечными разностями, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и начальных данных.

После осуществления такой процедуры мы приходим к алгебраической системе уравнений. Таким образом, задача о численном решении исходной начально-краевой задачи для дифференциального уравнения теплопроводности сводится к вопросу о нахождении решения полученной алгебраической системы. Остановимся на этих вопросах подробнее.

При численном решении задачи мы не можем воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области. В выбранной области необходимо задать конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой, а отдельные точки называют узлами сетки.

Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного изменения аргумента областью дискретного значения аргумента.

Пример 1. Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0,1] на равных частей. Расстояние между соседними узлами назовем шагом сетки. Точки деления — узлы сетки.

Пример 2. Равномерная сетка на плоскости. Рассмотрим множество функций двух аргументов . В качестве области определения выберем прямоугольник

Разобьем отрезки [0,1] оси и [0,T] оси соответственно на и частей, пусть . Через точки деления проведем прямые, параллельные соответствующим осям. В результате пересечения этих прямых получим узлы , которые и образуют сетку. Эта сетка имеет шаги h и ф соответственно по направлениям x и t.

Область изменения переменных задачи следующая <0?t?T, 0?x?L>. Заменяем непрерывные переменные дискретными:

— граничные условия на левом конце, — граничные условия на правом конце.

Заменяем частные производные их конечно-разностными аппроксимациями

Подставим эти выражения в уравнение и разрешим получившееся соотношение относительно ui+1,j, то есть значения функции в верхнем временном слое

Это и есть искомая формула, выражающая решение в данный момент времени через решение в предыдущий момент времени.

Граничные условия имеют следующие сеточные аналоги. Условиям теплоизолированных концов

очевидно, должны соответствовать условия вида

Условия, соответствующие заданным потокам,

заменяются, соответственно, для левого конца

Аналогично, для правого конца

При рассмотрении задачи о распределении температуры в тонком теплоизолированном кольце граничные условия в конечно-разностном виде приводят к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. При этом первое уравнение выглядит так

Значение, которому равны эти величины, легко вычисляется.

Рассмотрим теперь случай , что соответствует заданию температуры среды, окружающей левый торец стержня. Конечно-разностный аналог этого условия примет вид

Для правого торца выражение определяется аналогичным образом.

Численное моделирование теплопроводности в пакете MATLAB

Рассмотрим численное решение уравнения теплопроводности для одномерного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована, на торцах заданы граничные условия, моделирующие фиксированные значения температуры. Уравнение теплопроводности в этом случае записывается в виде

Рассмотрим решение этого уравнения на интервале времени 0?t?4. Переменная x изменяется в пределах -5?x?5. Граничные условия представлены в виде на левом конце, на правом конце стержня. Начальные условия для распределения температуры были заданы в виде функции

Чтобы решить представленную задачу, нужно создать m-файл следующего вида

%решение одномерного уравнения теплопроводности

%векторы x и t с начальным условием u(x,t(1))=init

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector