No Image

Уравнение движения точки в полярных координатах

3 просмотров
10 марта 2020

2.1.5. Задание движения точки в полярных координатах.

Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение можно определить полярными координатами r и j (рис. 2.15). При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, уравнения движения точки в полярных координатах будут

Выражая декартовы координаты точки М через полярные, получим х = rcos j , y = rsin j .

Проекции скорости v на оси декартовых координат

где — проекция скорости на радиальное направление, — проекция скорости на трансверсальное направление j . Модуль скорости

Для проекций ускорения на неподвижные координатные оси будем иметь

Модуль ускорения точки

При этом величина, стоящая под знаком радикала в первой скобке, равна радиальной составляющей a t , а во второй — трансверсальной составляющей a j (см .р ис.2.15).

Направляющие косинусы ускорения соответственно равны

Модуль ускорения

Проекции ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости на те же оси или вторым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Откуда

Или

Если движение точки задано координатным способом, т. е. уравнениями

x = x(t), y = y(t), z=z(t),

то, раскладывая векторы r, υ и w по ортам координатных осей, по­лучим

r=ix+jy+kz,

υ= iυX+jυY+kυZ,

w=iwX+jwY+kwZ

,где wX,wY,wZ — проекции ускорения на оси координат. На основании предыдущей формулы можно написать iωX+i ωY+k ωZ= iυX+jυY+kυZ

ω==

cos(ω^ί)=; cos(ω^ĵ)=; cos(ω^k)=

Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах г = г (t); φ = φ (t). Декартовы координаты выража­ются через полярные по формулам

х = г соs φ, у = г sinφ..

Найдем проекции ωr и ωφ ускорение ω точки на радиальное (r) и трансверсальное (φ) направление (рис.44)

Читайте также:  Фонбет зеркало сайта работающее альтернативный вход

Для ωX и ωY имеем выражение

С другой стороны,

ωХ=x=r cosφ – 2rφ sinφ – rcosφ ∙ φ 2 – r sinφ ∙ φ,

ωY=y=r sinφ + 2 rφ cosφ — rsinφ ∙ φ 2 + r cosφ ∙ φ

Дата добавления: 2013-12-12 ; Просмотров: 416 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Глава 7. Кинематика точки.

7.9. Задание движения точки в полярных координатах.

7.9.1. Определить модуль скорости, если его вектор в этот момент вре­мени образует угол 45° с полярным радиусом, а радиальная ско­рость r = 2 м/с. (Ответ 2,83)

7.9.2. Трансверсальная скорость точки равна 3 м/с. Определить радиаль­ную скорость, если вектор полной скорости образует угол 30° с по­лярным радиусом. (Ответ 5,20)

7.9.3. Определить трансверсальную скорость точки, если полная ско­рость равна 20 м/с, а радиальная скорость равна 10 м/с. (Ответ 17.3)

7.9.4. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = t, r = t 2 . Определить полярный радиус точки в момент времени, когда угол φ = 180°. (Ответ 9,87)

7.9.5. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = 2 sin t, r = t 2 . Определить полярный угол φ в момент времени, когда полярный радиус r = 4 м. (Ответ 1,82)

7.9.6. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = 0,5 t 2 , r = 0,5t. Определить трансверсальную скорость точки в см/с в момент времени t1, когда полярный радиус r = 2 м. (Ответ 8)

7.9.7. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = t2, r = 0,5 t 2 Определить радиальную скорость точки в момент времени, когда полярный угол φ = 2,25 рад. (Ответ 1,5)

7.9.8. Даны уравнения движении точки в полярных координатах φ = 2t, r = t 2 . Определить модуль скорости точки в момент времени t1 = 2 с. (Ответ 8,94)

7.9.9. Точка движется в плоскости. Уравнение полярного угла φ = 0,3t. Определить полярный радиус r в момент времени, когда полярный угол достигнет 3 рад, если dr/dt = 0,4 м/с. При t = 0 радиус r = 0.
(Ответ 4)

Читайте также:  Как отключить мигающую лампочку на телефоне

7.9.10. Точка движется в плоскости. Дано уравнение полярного радиуса r = sin πt. Определить полярный угол φ в момент времени, когда r = 1м, если dφ/dt = 0,4 рад/с. При t = 0 угол φ = 0. (Ответ 0,2)

Сборник коротких задач по теоретической механике.
Кепе О.Э.

Книга состоит из 1757 заданий которые предназначены для бысторого
контроля знаний на занятиях и зачетах а также для допуска к экзамену.
Задачи имеют ответы.

Издательство "Высшая школа" 1989 Москва

Также решение задач Кепе можно скачать здесь:
Мобильное приложение для Андроид:

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector